多过程驱动的随机常微分方程几类终值与边值问题适应解性质的研究

论文摘要

本学位论文旨在研究多过程驱动的随机常微分方程几类终值与边值问题适应解的性质,其中的驱动过程由三个独立的随机过程组成（两个维纳过程Wt,Bt与一个跳过程Lt）,而对应的σ域全体Ft既不单增也不单降,故不构成一般的域流.全文共分三大部分.第一部分,通过证明带跳的一般Skorohod积分意义下的Ito公式和Doleans-Dade公式,首次证明了由Levy过程驱动的倒向双重随机微分方程,当系数函数f与Z有关时的比较定理,我们给出的条件为易于判定的“负跳一致小”条件.第二部分,证明了由Levy过程驱动的倒向随机微分方程在不同Bihari条件下适应解的存在唯一性.第三部分,不同于Pardoux和Peng的鞅表示定理,本文通过扩大解容许范围引入变差逼近的思想,研究随机微分方程两点边值问题适应解的存在性.给出方程适应解存在的充要条件,同时利用构造解序列的方法给出方程的一个适应解.为此全文共分五章.第一章给出本学位论文所需要的预备知识,包括Levy过程,Skorohod积分以及Malliavin微分的一些主要结论和性质.第二章讨论在金融和偏微分的概率解释中有重要应用价值的,由Levy过程驱动的倒向双重随机微分方程：通过证明上述方程的适应解在Malliavin微分意义下的可微性,给出了一种易于判断的比较定理的存在条件.第一节利用函数逼近的方法,证明了当终值ξ与系数函数满足一定条件时,倒向双重随机微分方程解的高阶矩的存在性（定理2.3.1,定理2.3.2）.第二节和第三节,利用Malliavin微分的性质和Picard迭代法,分别证明了倒向双重随机微分方程对Wiener过程{Bt}的一阶、二阶Malliavin导数的存在性,指出解的一阶、二阶Malliavin导数也满足一个线性的倒向双重随机微分方程（定理2.4.1,定理2.5.1）,同时也证明了倒向双重随机微分方程的解的一、二阶Malliavin导数的高阶矩的存在性（定理2.4.2,定理2.5.2）.第四节,通过证明了带跳的Skorohod积分意义下的Ito公式（定理2.6.1）和Doleans-Dade公式（定理2.6.2）,以及对生成Teugels鞅的Levy过程的详细讨论,给出了系数函数f与Z有关时,在“负跳一致小”条件下适应解的比较定理（定理2.6.4）.第三章讨论由Levy过程驱动的倒向随机微分方程在不同Bihari条件下,适应解的存在唯一性.第一节讨论由Levy过程驱动的倒向双重随机微分方程（Eq.（1））,当系数g满足Lipschitz条件,f满足推广的Bihari条件：|f（t,y1,u1,z1）-f（t,y2,u2,z2）|2≤c（t）k（|y1-y2|2）+K（|u1-u2|2+‖z1-z2‖2）时,利用推广It6公式、Picard迭代法和区间延拓过程,证明了上述方程Ft-适应解的存在唯一性（定理3.2.1）.第二节利用推广的Bihari不等式和截断函数,给出了由Levy过程驱动的倒向随机微分方程在局部Bihari条件下解的存在唯一性（定理3.3.2）.第三节同样借助推广的Bihari不等式和一些光滑函数,给出了由Levy过程驱动的倒向随机微分方程在单调Bihari条件下解的存在唯一性（定理3.4.1,定理3.4.2）.第四章引入变差逼近的思想,研究如下形式的随机微分方程的两点边值问题dXt=f（t,Xt）dt+σ（t,Xt）dWt,AX0+BXT=ξ*.给出适应解存在的充分必要条件（定理4.3.1）.在f（t,Xt）=ft的简单情况下,通过放宽可行解范围引入控制项ft,把解Xt延拓为（Xt,ft）,并利用构造随机序列的方法得到方程的一个解（定理44.1）,同时也证明了所构造的解对边值的连续依赖性（定理4.5.1）.最后把我们得到解的充要条件分别与Strum-Liouvelle问题（关于正交性条件的例4.6.1）以及Peng关于倒向随机微分方程的“鞅逼近”问题（关于布朗桥的例4.6.2）相比较,说明本文给出的变差适应解的广泛性.第五章总结了本学位论文的主要内容,并给出了研究展望.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 前言
• 第1章 Levy过程、Skorohod积分及Malliavin微分的性质
• 1.1 Levy过程及其生成Teugels鞅的鞅表示定理
• 1.2 Skorohod积分、Malliavin微分及倒向Ito积分
• 第2章 由Levy过程驱动的BDSDE适应解的性质及比较定理
• 2.1 前言
• 2.2 预备知识
• 2.3 适应解高阶矩的存在性
• 2.4 一阶Malliavin可微性及Malliavin导数的高阶矩估计
• 2.4.1 前言
• 2.4.2 两个引理
• 2.4.3 主要结论
• 2.4.4 一阶Malliavin导数高阶矩的估计
• 2.5 二阶Malliavin可微性及Malliavin导数的高阶矩估计
• 2.5.1 主要定理的证明
• 2.5.2 二阶Malliavin导数高阶矩的估计
• 2.6 由Levy过程驱动的倒向双重随机微分方程的比较定理
• 2.6.1 前言
• 2.6.2 Skorohod积分意义下的Ito公式和Doleans-Dade公式
• 2.6.3 比较定理
• 第3章 Levy过程驱动的BSDE在不同Bihari条件下解的存在唯一性
• 3.1 前言
• 3.2 由Levy过程驱动的BDSDE在推广Bihari条件下适应解的存在唯一性
• 3.2.1 主要结论
• 3.2.2 定理的证明
• 3.3 由Levy过程驱动的BSDE在局部推广Bihari条件下适应解的存在唯一性
• 3.3.1 预备知识和假设条件
• 3.3.2 解的局部存在性
• 3.3.3 解的全局存在性
• 3.4 由Levy过程驱动的BSDE在单调Bihari条件下解的存在唯一性
• 3.4.1 主要的引理
• 3.4.2 解的存在唯一性
• 第4章 随机微分方程两点边值问题的变差适应解
• 4.1 引言
• 4.2 预备知识
• 4.3 充分必要条件
• 4.4 解的存在性
• 4.5 解对边值的连续依赖性
• 4.6 例子
• 4.6.1 例1
• 4.6.2 例2
• 第5章 总结与研究展望
• 参考文献
• 附录 博士期间发表的论文
• 致谢