p-adic数域上的Fourier分析

论文摘要

本文主要研究了p-adic数域Qp上的Fourier分析的一些基本理论。首先介绍了p-adic数域,Fourier分析及p-adic数域上的Fourier分析的发展历史及本文的研究意义。回顾了国内外的研究现状,并且简要地介绍了本文所进行的工作。其次,具体的给出了p-adic数及p-adic范数的一些基本知识,初等p-adic数域上的数列和级数的收敛性,连续性及类似于实分析的一些结果。同样对p-adic数域上的拓扑性质给予了详细的介绍。在此基础上详细地介绍了Qp上的加法特征,引入p-adic数域Qp上的实值函数的积分理论,给出Qp上的p-adic导数的概念。最后,给出了L1∩L2（Qp）上的实值函数f :Qp→R的卷积定义。在此基础上,我们提出并证明了卷积的一些性质,定义了L1∩L2（Qp）上的实值函数f的Fourier变换及其逆变换,讨论了Fourier变换的一些基本性质。然后,我们介绍了p-adic数域Qp上的局部常值函数,并且对p-adic数域上的模函数这一类局部常值函数(分别以sin |x|p,e|x|p, ln|x|p, x∈Qp三个模函数为例)进行Fourier变换,并验证了所提出的p-adic数域Qp上Fourier变换的性质。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
• 1.1 课题背景及研究意义
• 1.1.1 p-adic理论的产生与发展
• 1.1.2 Fourier分析的发展
• 1.1.3 p-adic数域上的Fourier分析
• 1.1.4 本文研究的目的意义
• 1.2 国内外研究现状
• 1.3 本文主要研究内容
• 第2章 预备知识
• 2.1 初等p-adic分析
• 2.1.1 p-adic数和p-adic范数
• 2.1.2 p-adic分析的基础知识
• 2.2 p-adic数域上的加法特征及可逆变换
• 2.2.1 p-adic数域上的加法特征
• 2.2.2 p-adic数域上的可逆变换
• 2.3 p-adic数域上的测度、积分与导数
• 2.3.1 p-adic数域上的测度
• 2.3.2 p-adic数域上的积分与导数
• 2.4 本章小结
• 第3章 p-adic数域上Fourier分析的理论研究
• 3.1 p-adic数域上的卷积
• 3.2 p-adic数域上的Fourier变换的平移性与伸缩性
• 3.3 p-adic数域上的Fourier变换的其它性质
• 3.4 p-adic数域上的Fourier变换的反演理论
• 3.5 本章小结
• 第4章 p-adic数域上模函数Fourier变换的应用
• 4.1 p-adic数域上的模函数
• 4.2 模函数Fourier变换的应用
• 4.3 p-adic数域上的研究展望
• 4.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢