极坐标系下Laplace方程柯西问题的非局部边界值问题

论文摘要

在论文中,我们讨论的是圆环或者球条区域上(采用极坐标系)的Laplace方程的柯西问题,即给定外边界上的函数值和法向导数值,由此确定内边界的函数值。显然这类问题是不适定的,因此要做一个正则化。本文采用的是辅助边界条件方法(ABC方法),或者非局部正则化方法。首先从理论上分析,然后进行数值测试,数据的结果验证了理论分析的正确性。第一章,我们阐述柯西问题的研究背景以及“微分”正则化的主要方法以及结果。第三章,我们结合分离变量法得到二维和三维Laplace方程的正则解和精确解的级数表达式,由这些表达式出发得到正则解和精确解在先验参数选择和后验参数选择下的误差估计。第四章,我们介绍边界元编程的基本思想以及和有限元相比的优缺点,然后阐述边界元编程的主要步骤和思路,最后用matlab对这些问题进行求解,绘制图表进行比较。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 引言
• 第一章 绪言
• 1.1 数学物理反问题的背景
• 1.2 Cauchy问题的研究背景
• 1.3 非局部边界值方法
• 第二章 预备理论
• 2.1 紧算子的若干结论
• 2.2 一般的正则化理论
• 第三章 Laplace方程柯西问题的非局部边界值问题
• 3.1 实践背景
• 3.2 解的表达式
• 3.2.1 二维的情形
• 3.2.2 三维的情形
• 3.3 先验误差估计
• 3.3.1 二维的情形
• 3.3.2 三维的情形
• 3.4 后验误差估计
• 3.4.1 二维的情形
• 3.4.2 三维的情形
• 第四章 数值试验
• 4.1 边界元算法简介
• 4.2 二维Laplace方程的边界元算法
• 4.3 数值试验
• 4.3.1 先验参数选择下的求解
• 4.3.2 后验参数选择下的求解
• 第五章 后续工作
• 5.1 区域的推广
• 5.2 推广到更一般的边界条件
• 参考文献
• 致谢
• 个人简历