论文摘要
腔体电磁散射与反散射问题的分析在近些年的理论与应用研究中都是很重要的.正散射问题是在已知入射场和腔体的形状信息,预测远离腔体的场的分布；反散射问题则是已知一些人工的测量数据,通过对这些数据的分析与计算,推测出腔体的形状.本文考虑嵌入在一个良导体的无限接地平面的具任意形状且填充的腔体的时谐平面波散射问题.文章给出一种在TE极化和TM极化情形下求解电磁散射问题的有限元和边界积分方程的对称耦合方法.本文基于对称耦合方法讨论了正散射问题和反散射问题,提出了正散射问题的变分公式,研究其弱解的存在性和唯一性,并给出区域导数,对于反散射问题给出了解的唯一性和局部稳定性结果.首先研究TE极化情形的正反散射问题.设入射平面波ui=exp（iαx1iβx2）从上方入射到良电导体表面Γg∪S,其中α=κ0 sinθ,β=k0 Cosθ,θ∈（-π/2,π/2）是关于正x2轴的入射角κ0=ω（?）为自由空间的波数.散射场满足△us+k2us=-（k2-k02）uref于Γg∪S上方. （1）us=-uref于Γg∪S上. （2）此外,散射场必须满足辐射条件对于正散射问题.有引理1正散射问题（1）一（3）至多有一个解.对于R2中的边界为aΩ的有界区域Ω,Tc（?）ΩHs（Ω）和Hs（T）分别为通常的Sobolev空间,其范数分别为‖·‖Hs（Ω）和‖·‖H8（T）.定义下列空间：L2（Γ）:={u|Γ:u∈L2（（?）Ω）}, H1/2（Γ）:={u|Γ:u∈H1/2（（?）Ω）}, H1/2（Γ）:={u∈H1/2（Γ）:supp u（?）Γ}.容易证明,在Ω中,下述问题△u+k2u=0于rg∪S上方, （4）u=0于Γg∪S上. （5）▽·（k-2▽u）+u=0于Γg∪S上方, （6）（?）nu=0于Γg∪S上. （7）的等价变分形式为：求u∈Hs1（Ω）={u∈H1（Ω）：u=0在S上}使得其中φ是全场u在T上的法向导数,即φ=（?）nu.,<·.·)表示H-1/2（T）与H1/2（T）的对偶运算.为研究边界积分方程,本文引入单层位势算子VTE,超奇异积分算子DTE,双层层位势算子KTE及其共轭算子K*TE,其定义如下全场边界r上的积分方程为：利用引入的算子,上述方程可以写成其中f=uref,g=（?）nuref,I为恒等算子.于是,下面两个方程组成了有限元法与边界积分方法对称耦合的变分公式,可以用于求解腔体正散射问题.利用关于积分算子的结果得到引理2单层位势算子VTEE是由H-1/2（T）映入H1/2（T）的紧算子;双层位势算子KTE以及其伴随算子K*TE分别由H1/2（T）映入H1/2（T）和由H-1/2（T）映入H-1/2（T）,且都是紧算子,超奇异积分算子DTE为由H1/2（T）映入H-1/2（T）的紧算子.进一步,单层位势算子VTE和超奇异积分算子DTE在H-1/2（T）和H1/2（r）内是强制的,即,存在紧算子VO和DO使得Re[<VTEφ,φ>+<V0φ,φ>]≥C‖φ‖H-1/2（Γ） （?）φ∈H-1/2（Γ）. Re[<DTEu,u>+<D0u,u>)≥‖u‖H1/2（Γ） （?）u∈H1/2（Γ）.对于任意u=[u,φ]∈VTE,定义VTE=HS1（Ω）×H-1/2（Γ）.VTE中的模定义为‖u‖VTE2=‖u‖H12（Ω）+‖φ‖H-12（Γ）利用上述结果,对于正散射问题得到定理1变分问题（14）-（15）存在唯一解[u,φ]∈VTE.反散射问题是从在Γ上测量的全场u来确定腔体壁S.这个问题解的唯一性可用下述定理描述.定理2设[uj,φj]为在Ωj上的解,（?）Ωj=Γ∪Sj,j=1.2如果在Γ上u1=u2,则S1=S2.根据建立的变分形式,得到关于区域导数的下述结果.定理3设[u.φ]为（14）-（15）在Q上的解.n为S上的外法向.则区域导数可以表示为M’TE（S.p）=[u’]Γ.φ’].其中[u’.φ’]∈H1（Ω）×H-1/2（T）为下述边值问题的解△u’+k2u’=0于Ω内. （17）于Γ上. （18）于Γ上. （19）u’=-（p·n）φ于S上. （20）其中φ’=（?）nu’于Γ.在实际应用中,需要讨论实际构造的腔体壁的稳定性,因为它可提供数据在什么程度上可信的信息.定理4如果p∈C2（S,R）且h>0充分小,则d（Ωh,Ω）≤C‖uh-u‖H1/2（Γ）. （21）其中C为与h无关的常数.对于TM极化情形的正问题和反问题,由于它与TE极化情形相似,文中阐述了正问题的某些平行结果,并证明了场关于腔体局部稳定性结果,并给出了区域导数.对于正散射问题,考虑与TE极化情形相同的几何问题,设入射平面波ui=exp（iax1-iβx2）从上方入射到完全电导体表面.散射场满足▽·（k-2▽us）+us=-▽·[（k-2-k0-2）▽uref]于Γg∪S上方,（?）nus=-（?）nuref于Γg∪S上另外,要求散射场满足辐射条件类同定理1有下述定理定理5变分问题（9）有一个唯一解[u,φ]∈VTM.而对于反散射问题,本文研究解的唯一性及局部稳定性,并给出区域导数.唯一性的证明与TE形式十分相似,给出简要证明.但是其局部稳定性的证明与区域导数的给出与TE情形有很大的不同,所以本文给出了详细的证明.关于TM情形的主要结果如下：定理6设[uj,φj]为（4.9）在Ωj中的解,（?）Ωj=Γ∪Sj,J=1.2如果在Γ上u1=u2,则有S1=S2.定理7设[u,φ]为（9）在Ω的解,n为S上的外法向.区域导数可表示为M’TM（S.p）=[U’|Γ,φ’],其中[u’,φ’]∈VTM为下述边值问题的弱解▽·（k-2▽u’）+u’=0于Ω内, （22）于Γ上, （23）于Γ上, （24）k-2φ’=▽s·[k-2（p·n）▽Su]+（p·n）u于S上, （25）其中,在Γ上φ’=（?）nu’.定理8若p∈C2（S,R）且h>0充分小,则有d（Ωh,Ω）≤C‖uh-u‖H1/2（Γ）·（26）其中C为一与h无关的常数.Ωh为由Sh和Γ所截的区域,Sh:x+hp（x）n,p∈C2（S,R）.
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