论文摘要
反应扩散系统是描述客观世界的重要模型,它的研究对于理解现实世界具有重要的指导意义.特别地，由于周期解和Turing模式是现实中的重要现象,已成为动力系统的重要研究课题之，并且在物理、化学和生物等许多学科领域中得到了广泛应用.基于此，本文主要研究几类反应扩散系统的分歧周期解和Turing模式首先.考虑了时滞扩散捕食系统的分歧周期解问题.对于这一时滞系统.当时滞小于某个临界值时.其正常数平衡解渐近稳定：并且获得了从正常数平衡解处分歧出周期解的条件.进一步,通过使用规范形理论和中心流形约化，给出了分歧周期解在中心流形上轨道渐近稳定和不稳定的充分条件.同时指出消化时滞越小越有利于种群稳定在一个正平衡状态.特别通过对比相应的非扩散系统.发现在Neumann边界条件下时滞扩散系统可出现更复杂的分歧现象Bogdanov-Takens分歧，而相应的非扩散系统却没有这种Bogdanov-Takens歧性.其次，研究了交错扩散捕食系统的Turing模式，特别研究了交错扩散对系统性态的影响.我们发现交错扩散不仅可以使系统产生Turing不稳定性，而且可以使原来扩散系统的Turing不稳定性消失.另外.利用Harnack不等式.并结合最大值原理得到了椭圆方程组解的先验上、下界估计.在此基础上,运用能量积分的方法给出了非常数正解不存在性的充分条件，然后利用Leray-Sehauder度理论证明了稳态系统非常数正解的存在性.结果表明当捕食者从食饵的高密度区域向食饵的低密度区域扩散的更快时，系统有非常数正解.再次,讨论了扩散捕食系统的Hopf分歧和波串解.我们得到捕食率越小越有利于正常数平衡态稳定,并且发现Hopf分歧现象,还给出例子进行了数值模拟.另外，得到了无界区域上波串解的存在性.我们发现捕食率越大越有利于波串解的发生这为解释和控制种群动力学中的周期现象提供了理论依据.最后,分析了时滞Lotka-Volterra扩散竞争系统的空间均匀和非均匀分歧周期解.我们给出了时滞扩散系统和相应的时滞系统在正常数平衡态处分歧出的周期解有相同的稳定性和方向的条件.并讨论了空间非均匀Hopf分歧周期解的存在性.我们发现大扩散不影响系统对应的时滞系统Hopf分歧周期解的性质,而当扩散在适当范围内时,可使系统在正常数平衡解处分歧出空间非均匀周期解.这些结论表明时滞和扩散对系统的动力学行为具有重要的影响.